1729 – Número Hardy-Ramanujan y los números taxicab

Ramanujan

Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan

Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan fue un matemático autodidacta indio que pronto atrajo la atención de la comunidad matemática por sus increíbles habilidades, tanto en su país natal (India) como en el resto del mundo. Tanto fue así que tras escribir varias cartas a diferentes matemáticos en todo el mundo, atrajo la curiosidad del matemático británico Godfrey Harold Hardy, que le invitó a pasar un tiempo en Cambridge para que pudiera formarse y desarrollar sus trabajos allí.

Y éstos son precisamente los protagonistas de una curiosa historia matemática:

Durante su estancia en Inglaterra, Ramanujan contrajo tuberculosis y tuvo que ser ingresado en un hospital de Londres. Hardy tomó un taxi para visitar a Ramanujan en hospital, ese taxi tenía el número 1729, que por algún motivo llamó la atención de Hardy, ya que al entrar en la habitación del hospital se lo comentó a Ramanujan, afirmando que éste era un número bastante aburrido y que esperaba que no fuera un mal presagio.

Pero Ramanujan no lo vio así: No, Hardy – le dijo – es un número muy interesante: es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes.

    \[ 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 \]

Por algún motivo, Ramanujan tenía una especial capacidad para ver los números de una manera diferente, algo que muy seguramente quedó grabado en la memoria de Hardy para siempre…

Godfrey Harold Hardy

Godfrey Harold Hardy

Esta anécdota, que no deja de ser una curiosidad matemática, dio lugar a los denominados números taxicab (taxicab numbers). Para que un número sea considerado el enésimo número taxicabTa(n) – éste debe ser el menor número en poder descomponerse como n sumas distintas de dos números positivos, he aquí algunos ejemplos (fuente: Wikipedia):

    \[{\displaystyle \operatorname {Ta} (1)=2=1^{3}+1^{3}} \]

    \[{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (2)&=&1729&=&1^{3}+12^{3}\\&&&=&9^{3}+10^{3}\end{matrix}}} \]

    \[{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (3)&=&87539319&=&167^{3}+436^{3}\\&&&=&228^{3}+423^{3}\\&&&=&255^{3}+414^{3}\end{matrix}}}\]

    \[{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (4)&=&6963472309248&=&2421^{3}+19083^{3}\\&&&=&5436^{3}+18948^{3}\\&&&=&10200^{3}+18072^{3}\\&&&=&13322^{3}+16630^{3}\end{matrix}}}\]

    \[{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (5)&=&48988659276962496&=&38787^{3}+365757^{3}\\&&&=&107839^{3}+362753^{3}\\&&&=&205292^{3}+342952^{3}\\&&&=&221424^{3}+336588^{3}\\&&&=&231518^{3}+331954^{3}\end{matrix}}}\]

    \[{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (6)&=&24153319581254312065344&=&582162^{3}+28906206^{3}\\&&&=&3064173^{3}+28894803^{3}\\&&&=&8519281^{3}+28657487^{3}\\&&&=&16218068^{3}+27093208^{3}\\&&&=&17492496^{3}+26590452^{3}\\&&&=&18289922^{3}+26224366^{3}\end{matrix}}}\]

Si te ha parecido interesante, en 2015 se llevó al cine la vida de Ramanujan, en la película: El hombre que conocía el infinito

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